О количественной форме теоремы Берлинга-Хелсона (совм. с С.В. Конягиным)

Рассматривается пространство функций $f$ на двумерном торе c нормой, равной $L_1$-норме преобразования Фурье. Это множество является банаховой алгеброй с обычным поточечным умножением. Положим $A(f,n):=||exp(in f)||$. Теорема Берлинга-Хелсона утверждает, что из $A(f,n) = O(1)$ следует линейность функции $f$. Отсюда получаем тривиальность эндоморфизмов рассматриваемой алгебры - они состоят только из отображений вида $f(x)$ -> $f(ax+b)$. Известная гипотеза Кахана состоит в том, что уже условие $A(f,n) = o(\log n)$, влечет линейность. Используя один аддитивно-комбинаторный результат, В.В. Лебедев получил первое количественное продвижение в доказательстве гипотезы Кахана, а именно ослабил его до $A(f,n) = o((\log \log n)^c)$. Применяя более глубокую технику, мы еще ослабляем это условие до $A(f,n) = o((\log n)^c)$.