О повторяющихся играх с ограниченной ценой информации

Доклад иллюстрирует применение мартингальных методов к исследованию повторяющихся игр с неполной информацией.
В $N$-шаговой повторяющейся игре $\Gamma_N(\rho)$ с неполной информацией выигрыш Игрока 1 (равный проигрышу Игрока 2) дается суммой пошаговых выигрышей $A_{i_n,j_n}^\theta$, $n=1,...N$, зависящих от действий игроков на данном шаге $n$ и от случайного элемента $\theta\in\Theta$, который выбирается случаем до начала игры и имеет распределение $\rho$. Специфика задачи в том, что $\theta$ сообщается Игроку 1, а Игрок 2 знает только $\rho$, но многошаговая структура игры позволяет ему обновлять свои представления о $\theta$ байесовским образом, наблюдая за действиями своего информированного оппонента на предыдущих шагах. Игроки могут рандомизировать свои действия, стремясь увеличить ожидаемый выигрыш.
Ценой информации называется разница между выигрышем Игрока 1 в $\Gamma_N(\rho)$ и выигрышем, который он бы получил, забыв $\theta$ (предполагается, что в обоих случаях игроки играют оптимально). В типичных примерах цена информации растет как $\sqrt{N}$ при $N\to\infty$, что определяется нормировкой в центральной предельной теореме, возникающей при их анализе.
В докладе мы обсудим другой сценарий, впервые отмеченный для дискретных моделей финансового рынка с асимметрично информированными агентами (B. De Meyer & A. Marino 2005, V. Domansky 2005): цена информации в таких играх остается ограниченной при $N\to\infty$.
Нам удается установить критерий ограниченности цены информации в широком классе игр. Этот результат оказывается связан с оценками, похожими на оценку Дуба для ожидаемого числа пересечений мартингалом фиксированного интервала.