Аннотация:
Нетрудно представить себе материальную точку (бильярдный шар), движущуюся внутри выпуклого тела (бильярдный стол) и отражающуюся от границы тела по правилу «угол падения равен углу отражения». Это понятие можно математически формализовать, что приводит к конструкции некоторой динамической системы (которую можно считать гамильтоновой) с разными интересными свойствами.
Достаточно давно (начиная с Биркгофа в начале 20-го века) изучаются бильярды, и в частности, изучаются замкнутые бильярдные траектории на плоскости и в больших размерностях. Недавно Шири Артштайн-Авидан и Ярон Островер интерпретировали минимальную длину бильярдной траектории в терминах инварианта «симплектическая ёмкость», установив таким образом связь с новой и интересной наукой «симплектическая геометрия». При этом оказалось полезно рассматривать бильярды не только в евклидовой норме, но и в произвольной не обязательно рефлексивной финслеровой норме.
В докладе будет рассказано про правило отражения для бильярдов в произвольной норме, характеризацию (по Бездеку и Бездеку) длины минимальной замкнутой траектории и оценки этой длины в некоторых полезных случаях. Значительная часть обсуждаемых результатов может быть доказана (и изначально была доказана) методами симплектической геометрии, но будет изложена элементарными средствами.
|
