Об одном результате амбициозной математико-логической программы Б. Зильбера

Я расскажу об одном простом и конктетном результате амбициозной математико-логической программы Б. Зильбера, одной из (недостигнутых) целей которой является понимание некоммутативных структур с точки зрения теории моделей. В рамках программы было понято, что некоторые комплексно-аналитические объекты (напр., комплексная экспонента ехр) являются чисто «дискретными», обладающими сильным свойством единственности-универсальности и таким образом «правильным» объектом с мат.-логической точки зрения. Есть и аналогичные (частичные) результаты про объекты из простой характеристики, а также и торы с «вещественным умножением». Часто «правильность»-единственность объекта является содержательным математическим утверждением, например имеющим отношение к действию Галуа на модуле Тэйта.
Однако я буду рассказывать об одном простом результате – дискретной «единственности» универсального накрывающего пространства комплексного тора $C^*$ и эллиптической кривой. Формальный результат таков: с точностью до автоморфизма алгебраически замкнутого поля $K$ существует единственное абелево делимое группое расширение группы $K^*$ с ядром – бесконечной циклической группой $Z$; для эллиптической кривой не более чем конечное число аналогичных расширений абелевых групп или СМ-модулей, при некоторых условиях. В частности, в терминах (вырожденного в этом случае) разложения Ходжа мы дискретно восстанавливаем $Z$-cтруктуру. Я попытаюсь также упомянуть, можно ли обобщить эту конструкцию на абелевы многообразия или конечную характеристику.