RUS  ENG
Полная версия
СЕМИНАРЫ

Петербургский топологический семинар им. В. А. Рохлина
9 июня 2014 г. 17:15, г. Санкт-Петербург, ПОМИ, комн. 311 (наб. р. Фонтанки, 27)


Поверхности, через каждую точку которых проходит несколько окружностей, лежащих на поверхности

М. Б. Скопенков

Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича РАН, г. Москва

Аннотация: По совместной работе с Ф. Ниловым, Р. Кразаускасом, А. Пахаревым, Х. Потманом и Л. Ши.
Исследование поверхностей в 3-мерном евклидовом пространстве, упомянутых в названии доклада, мотивируется возможными применениями их в архитектуре. Полная классификация таких поверхностей является сложной нерешенной проблемой. Мы дадим ряд примеров таких поверхностей и приведем некоторые результаты, касающиеся последней задачи.
В старой теореме Дарбу утверждается, что поверхность, через каждую точку которой проходит достаточно много окружностей, лежащих на ней, является так называемой циклидой Дарбу. Циклиды Дарбу - это алгебраические поверхности степени не более 4, их класс включает циклиды Дюпона и квадрики. Через каждую точку циклиды Дарбу проходит до 6 таких окружностей. Мы показываем, что определенные тройки семейств окружностей образуют так называемые шестиугольные 3-ткани, и даем полную классификацию всех возможных шестиугольных 3-тканей из окружностей на всех поверхностях, кроме сфер и плоскостей.
Другой класс поверхностей с двумя окружностями через каждую точку получается с помощью параллельных переносов Клиффорда одной окружности вдоль другой в пространстве или в 3-мерной сфере. Этот класс хорошо описывается кватернионами, и наш подход к общей задаче классификации поверхностей с несколькими окружностями через каждую точку состоит в использовании кватернионных рациональных параметризаций.
Большая часть доклада элементарна и доступна даже школьникам. В докладе будет сформулировано несколько нерешенных проблем. Также мы покажем много поверхностей, содержащих несколько окружностей через каждую точку.


© МИАН, 2024