О вычислении гамильтоновой нормальной формы

В окрестности положения равновесия рассматривается автономная система Гамильтона с $n$ степенями свободы и с аналитической функцией Гамильтона. Формулируются определение гамильтоновой нормальной формы и ее два основных свойства:

• 1) тейлоровское разложение нормальной формы имеет наипростейший вид, состоящий только из так называемых резонансных членов;
• 2) нелинейная часть системы в целом и каждый её член в отдельности коммутирует с линейной частью.

Свойство 1) служит определением нормальной формы и используется в процедуре приведения к ней. В известных классических процедурах (Birkhoff G. D., Cherry T. M., Gustavson F. G. и Deprit A.) нормализация гамильтониана осуществляется чисто алгебраическими методами.
Свойство 2) облегчает построение асимптотических решений, анализ устойчивости и т.п., тем самым, представляя собой основную цель нормализации. Между тем, используя свойство 2), можно существенно упростить алгоритм нормализации, если ввести определение инвариантной нормальной формы гамильтониана: гамильтониан, удовлетворяющий только свойству 2) (Журавлев В. Ф.).
Алгоритмы вычисления канонических нормализующих замен и нормальных форм классифицируются по способу вычисления канонической замены:

\item[А)] с помощью производящей функции Якоби; \item[Б)] посредством рядов Ли; \item[В)] параметрическая каноническая замена (предложенная автором доклада).

Алгебраические процедуры вычисления нормальной формы сравниваются с алгоритмами инвариантной нормализации, в которых нормальная форма в каждом приближении находится из одной квадратуры. Из этой же квадратуры находятся генератор Ли по способу Б) или производящая функция параметрической замены по способу В). Способ Б) применяется для автономной системы, тогда как способ В) удобен для нормализации неавтономной гамильтоновой системы с периодическим по времени гамильтонианом.
Алгоритм инвариантной нормализации демонстрируется на примерах построения асимптотического решения различных физических задач.