Интегрируемые биллиарды и новое доказательство теоремы Понселе

Теорема Понселе (1813) утверждает следующее. Пусть заданы два эллипса в плоскости — один эллипс внутри другого. Предположим, что существует замкнутая ломаная, вписанная в один эллипс и описанная около другого эллипса. Тогда через любую точку обоих эллипсов проходит аналогичная ("вписанно-описанная") замкнутая ломаная, с тем же числом звеньев. Известно много доказательств теоремы Понселе (и ее обобщений).
Некоторые ученые (в том числе А.А.Ошемков и А.Т.Фоменко) предлагали использовать следующую идею для возможного нового доказательства теоремы Понселе (и ее обобщений). Проективным преобразованием плоскости любые две коники можно перевести в софокусные. Но в случае софокусных эллипсов любая вписанно-описанная ломаная следует закону отражения биллиарда: угол падения равен углу отражения (Шаль, 1827). Другими словами, биллиард в эллипсе интегрируем: любая биллиардная траектория касается некоторой коники (называемой каустикой), софокусной с данным эллипсом. То есть, фазовые траектории биллиарда в эллипсе (как кусочно-гладкой гамильтоновой системы с 2 степенями свободы) лежат на 2-мерных инвариантных подмногообразиях — совместных множествах уровня энергии и дополнительного первого интеграла (значение параметра каустики в 1-параметрическом семействе софокусных коник). Идея состоит в следующем: если для биллиарда в эллипсе удастся доказать аналог теоремы Лиувилля, то из него будет следовать новое доказательство теоремы Понселе.
Мы показываем, что для интегрируемых биллиардов (и их обобщений) верно утверждение теоремы Лиувилля (как и в случае гладких интегрируемых гамильтоновых систем). Более точно: в окрестности любого компактного связного неособого совместного множества уровня энергии и дополнительного первого интеграла существуют канонические переменные действие-угол, такие что энергия и дополнительный первый интеграл являются гладкими функциями переменных действия. В частности: а) все неособые связные компактные инвариантные поверхности гомеоморфны 2-мерному тору; б) на каждом инвариантном торе фазовые траектории выпрямляются (т.е. условно-периодичны) относительно угловых координат на этом торе, а потому либо одновременно замкнуты, либо одновременно не замкнуты.
Из последнего свойства легко следует теорема Понселе. Мы также получаем формулу для “функции вращения” (равной тангенсу угла наклона фазовых траекторий в угловых координатах на инвариантном торе), как функции от значения дополнительного первого интеграла.