О свойствах нулей “возмущённой” экспоненты $\sum_{n\geq 0} q^{n(n-1)/2}z^n/n!$

При $|q|\leq1$ “возмущённая” (также “деформированная”/“параметрическая”) экспонента является единственным аналитическим решением функционального уравнения $f'(z)=f(qz)$ с начальном условием $f(0)=1$. Эта функция в литературе появлялась неоднократно благодаря её родству с экспонентой, Ж. Валирон охарактеризовал её как простейшую целую функцию после $e^x$. Она оказывается связанной с многочленами Тата, также не может не бросаться в глаза схожесть коэффициентов её степенного ряда и степенного ряда для Тэта-функции Якоби. И, хотя все нули Тэта-функции прекрасно известны (и просты), о свойствах нулей “возмущённой экспоненты” в общем случае известно не так много.
В 2009 году А. Сокалом была сформулирована гипотеза о простоте всех нулей “возмущённой экспоненты” (а также ряд других гипотез). Такой факт был бы полезен для исследования их динамики как неявных функций от комплексного параметра $q$. В докладе я хотел бы представить известные мне на данный момент результаты по этой гипотезе, а также круг связанных вопросов.