Кривые с инволюциями, многообразия Прима и уравнение Шредингера

Многообразия Прима (примианы) возникли в конце 19 в. в работах учеников Римана–Прима, Виртингера и Шоттки. Примиан является аналогом якобиана для кривых с голоморфной инволюцией, или, что то же самое, для 2-листных накрытий кривых. Тогда же, в конце 19 в., была поставлена проблема Римана–Шоттки, которая позднее была сформулирована Бовилем и Донаги как проблема характеризации якобианов/примианов кривых в классе всех главнополяризованных абелевых многообразий. В 1970-х интерес к многообразиям Прима был возрождён Д. Мамфордом, который показал, что примианы являются главнополяризованными абелевыми многообразиями тогда, и только тогда, когда они соответствуют накрытиям с не более, чем двумя точками ветвления, а также, что в размерностях 5 и менее не все главнополяризованные абелевы многообразия являются якобианами, но все являются примианами. В связи с этим должна быть упомянута работа В. Шокурова 1983 г., в которой даются необходимые и достаточные условия того, что примиан изоморфен якобиану некоторой кривой, или прямой сумме якобианов. Сюда же примыкает вопрос, определяется ли 2-листное накрытие однозначно своим примианом. Для якобианов ответ положителен (теорема Торелли). Для примианов неразветвлённых накрытий теорема Торелли доказана в 1982 г. Каневым, а для накрытий с 2 точками ветвления локальная версия теоремы доказана в 1990 г. Таймановым. Этому предшествовало принципиальное открытие Веселова и Новикова 1984 года, которые связали кривые с инволюцией и 2-мерное потенциальное уравнение Шредингера. Это позволило Кричеверу в 2005 г. дать решение проблемы Шоттки для многообразий Прима накрытий с 2 точками ветвления в терминах уравнения Шредингера. А именно, чтобы абелево многообразие было примианом, некоторое выражение от его тэта-функции должно удовлетворять этому уравнению. Теорема Кричевера является далёким развитием знаменитой гипотезы Новикова о характеризации якобианов в терминах уравнения КП.

В докладе мы планируем изложить перечисленные выше фундаментальные факты и гипотезы, и отметить некоторые упущенные возможности. А именно, известна фундаментальная роль теоремы Римана об обращении в ноль. Для тэта-функции Римана и тэта-функции Прима она работает по-разному. Оказалось, что для кривых с двумя коммутирующими инволюциями, удовлетворяющими некоторому дополнительному условию, эта разница пропадает. Следствиями этого наблюдения являются 1) аналог для примианов таких кривых представления якобиана в виде симметрической степени самой кривой; 2) явное решение системы Хитчина с калибровочной группой SO(4) на кривой рода 2; 3) новое представление функции Бейкера-Ахиезера потенциального уравнения Шредингера и 4) гипотетический аналог теоремы Кричевера характеризации примианов, но для накрытий с 4 точками ветвления (напомним, все предыдущие результаты относились к накрытиям с не более чем 2 точками ветвления).