Задача с препятствием, выходящим на границу области, для некоторого класса квадратичных функционалов в $\mathbb R^N$

Рассматривается вариационная задача с ограничением для квадратичного функционала, определенного на вектор-функциях $u\colon\Omega\to\mathbb R^N$, $N>1$. Предполагается, что недиагональная матрица, определяющая квадратичную форму интегранта, зависит от решения и имеет “разделенную” структуру. В качестве ограничения фиксируется замкнутое (быть может, некомпактное) множество $\mathcal K$ в пространстве $\mathbb R^N$ или гладкая гиперповерхность $S$. Предполагается, что $u(x)\in\mathcal K$ или $u(x)\in S$ почти везде в $\Omega$. Эта задача является обобщением скалярной задачи с препятствием, выходящим на границу области. Доказано, что решения рассматриваемых вариационных задач являются частично гладкими в $\overline\Omega$, при этом сингулярное множество решения $\Sigma$ замкнуто и допускает оценку $H_{n-2}(\Sigma)=0$.