Операторные оценки погрешности при усреднении эллиптической задачи Дирихле в ограниченной области

В пространстве $L_2(\mathcal O;\mathbb C^n)$, где $\mathcal O\subset \mathbb R^d$ – ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$, рассматривается матричный эллиптический дифференциальный оператор $\mathcal A_{D,\varepsilon}$ второго порядка при условии Дирихле на границе. Здесь $\varepsilon>0$ – малый параметр, коэффициенты оператора периодичны и зависят от $\mathbf x/\varepsilon$. Найдена аппроксимация оператора $\mathcal A_{D,\varepsilon}^{-1}$ по норме операторов, действующих из $L_2(\mathcal O;\mathbb C^n)$ в пространство Соболева $H^1(\mathcal O;\mathbb C^n)$, с погрешностью $O(\sqrt\varepsilon)$. Аппроксимация дается суммой оператора $(\mathcal A^0_D)^{-1}$ и корректора первого порядка, где $\mathcal A^0_D$ – эффективный оператор с постоянными коэффициентами при условии Дирихле на границе.