Спектральные оценки для оператора Шредингера на периодических дискретных графах

Рассмотрены нормированный оператор Лапласа и его возмущения периодическим потенциалом (оператор Шредингера) на периодических дискретных графах. Спектр операторов состоит из абсолютно непрерывной части, представляющей собой объединение конечного числа невырожденных спектральных зон и конечного числа собственных значений бесконечной кратности. Получены оценки меры Лебега спектра в терминах геометрических параметров графа. Показано, что на некоторых графах эти оценки становятся равенствами. Получены двусторонние оценки длин первых спектральных зон и эффективных масс в начале спектра для операторов Лапласа и Шредингера, откуда, в частности, следует невырожденность первой зоны оператора Шредингера.