Усреднение гиперболических уравнений с периодическими коэффициентами в $\mathbb{R}^d$: точность результатов

В $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ рассматривается самосопряженный сильно эллиптический дифференциальный оператор $\mathcal{A}_\varepsilon$ второго порядка. Предполагается, что коэффициенты оператора $\mathcal{A}_\varepsilon$ периодичны и зависят от $\mathbf{x}/\varepsilon$, где $\varepsilon >0$ — малый параметр. Получены аппроксимации операторов $\cos ( \mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ и $\mathcal{A}_\varepsilon^{-1/2}\sin (\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ по норме операторов, действующих из пространства Соболева $H^s(\mathbb{R}^d)$ в $L_2(\mathbb{R}^d)$ (при подходящем $s$). Для оператора $\mathcal{A}_\varepsilon^{-1/2}\sin ( \mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ получена также аппроксимация при учете корректора по $(H^s \to H^1)$-норме. Исследован вопрос о точности результатов относительно типа операторной нормы и относительно зависимости оценок от $\tau$. Результаты применяются к исследованию поведения решений задачи Коши для гиперболического уравнения $\partial_\tau^2 \mathbf{u}_\varepsilon = - \mathcal{A}_\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon + \mathbf{F}$.