О задаче электроимпедансной томографии для неориентируемых поверхностей с лакунами

Пусть $(M,g)$ — гладкая компактная (вообще говоря, неориентируемая) поверхность и $\Gamma_{0},\dots,\Gamma_{m-1}$ — компоненты границы $M$. Пусть $u=u^{f}(x)$ есть решение задачи $\Delta_{g}u=0$ в $M$, $u|_{\Gamma_{0}}=f$, $u|_{\Gamma_{j}}=0$, $j=1,\dots,m'$, $\partial_{\nu}u|_{\Gamma_{j}}=0$, $j=m'+1,\dots,m-1$, где $\nu$ — внешняя нормаль. Этой задаче сопоставляется ДН-оператор $\Lambda\colon f\mapsto \partial_{\nu}u^{f}|_{\Gamma_{0}}$. Цель состоит в определении поверхности $M$ по известному $\Lambda$.
Для решения применяется алгебраическая версия метода граничного управления. Главную роль играет алгебра $\mathfrak{A}$ функций, голоморфных на ориентируемом накрытии поверхности $M$. Мы показываем, что алгебра $\mathfrak{A}$ определяется по $\Lambda$ с точностью до изометрического изоморфизма. Из спектра алгебры $\mathfrak{A}$ строится копия $M'$ поверхности $M$. Эта копия конформно эквивалентна $M$, а ее ДН-оператор совпадает с $\Lambda$.