О существовании решений двухточечных краевых задач для гироскопических систем релятивистского типа

Пусть $(M,g)$ – ориентированное во времени лоренцево многообразие, $F$ – замкнутая 2-форма на $M$ и $u\colon M\to R$ – гладкая и положительная функция. Гироскопической системой релятивистского типа в работе называется четверка $\Gamma(M,g,F,u)$, ее движениями – направленные в будущее решения системы уравнений
\begin{gather} (\nabla/ds)(dy/ds)=F^*(dy/ds)-\operatorname{grad}u(y), \\ g(dy/ds,dy/ds)+2u(y)=0, \end{gather}
где $\nabla$ – оператор ковариантного дифференцирования в $(M,g)$, a $F^*$ – определенное формулой $g(F^*(X),Y)=F(X,Y)$ поле линейных операторов. Рассмотрим точки $p$ из $M$ и $q$ из хронологического будущего $I^{+}(p)$. Обозначим символом $O_{pq}$ множество кусочно-гладких кривых $y\colon[0,\delta]\to M$, для которых $\delta\in{\mathbb R}_+=(0,\infty)$ и
\begin{equation} x(0)=p,\qquad x(\delta)=q \end{equation}
В работе получены условия на систему $\Gamma$, точки $p$ и $q$ и гомотопический класс $D\in\pi_0(O_{pq})$, при выполнении которых существуют принадлежащие $D$ решения двухточечной краевой задачи (1)–(3). Рассмотрены примеры, в которых гироскопическая система $\Gamma$ описывает движения заряженной пробной частицы в различных гравитационных и электромагнитных полях. В первом из них $(M,g)$ – четырехмерное пространство Робертсона–Уокера, поле $F$ произвольно. Во втором примере частными случаями многообразия $(M,g)$ являются внешнее пространство-время Райсснера—Нордстрема и пространство-время Шварцшильда–Эрнста (внешнее пространство-время черной дыры Шварцшильда в магнитной Вселенной Мелвина); в форму гироскопических сил $F$ вносят вклад электрическое и магнитное поля заряженной черной дыры Райсснера–Нордстрема, магнитное поле Вселенной Мелвина, а также произвольное внешее электромагнитное поле, не влияющее на геометрию пространства-времени.