Нижний ниль-радикал $(-1,1)$-колец

Рассматриваются $\Phi$-операторные $(-1,1)$-кольца $\left(\frac{1}{6}\in\Phi\right)$. Доказано, что идеал полупервичного $(-1,1)$-кольца является полупервичным кольцом. Отсюда следует,что свойства нижнего ниль-радикала в классе $(-1,1)$-колец аналогичны свойствам того же радикала в классах ассоциативных и альтернативных колец.
Кроме того, доказано, что идеал первичного $(-1,1)$-кольца является первичным кольцом. Этот результат сводит вопрос о существовании неассоциативных первичных $(-1,1)$-колец к вопросу о существовании неассоциативных первичных локально-нильпотентных $(-1,1)$-колец с тождеством $[[x,y],z]=0$.