Нильпотентность идеалов в $(-1,1)$-кольцах с условием минимальности

Получено описание минимальных идеалов $\Phi$-операторных $(-1,1)$-колец $\left(\frac{1}{6}\in\Phi\right)$: они либо тривиальны, либо простые ассоциативные кольца. Следовательно, описание минимальных идеалов ассоциативных колец остается в силе для $(-1,1)$-колец.
Доказано, что локально-нильпотентный радикал $L(R)$ $(-1,1)$-кольца $R$ с условием минимальности для двусторонних идеалов, содержащихся в $L(R)$, является нильпотентным. А если $(-1,1)$-кольцо $R$ удовлетворяет условию минимальности для правых (или для левых) идеалов, содержащихся в верхнем ниль-радикале $N(R)$, то $N(R)$ — нильпотентное кольцо. Поскольку $(-1,1)$-кольца без локально-нильпотентных идеалов ассоциативны, то легко получить описание фактор-колец $R/{L(R)}$ и $R/{N(R)}$, если $(-1,1)$-кольцо $R$ удовлетворяет условию минимальности.