Конечные простые группы, силовская $2$-подгруппа которых есть расширение абелевой группы посредством группы ранга $1$

Теорема. Если силовская $2$-подгруппа $T$ конечной простой группы является расширением абелевой группы с помощью циклической группы или (обобщенной) группы кватернионов, то $T$ содержит абелеву подгруппу индекса $2$.
Из этой теоремы в силу известных классификационных результатов получается
Следствие. Если силовская $2$-подгруппа конечной простой группы $G$ является расширением абелевой группы с помощью циклической группы или (обобщенной) группы кватернионов, то $G$ изоморфна одной из следующих групп: $L_{2}(q)$, $q>3$, $A_7$, $M_{11}$, $L_{3}(q)$, $U_{3}(q)$, $q$ нечетно, группа типа Янко-Ри.