Об одном признаке непростоты групп

Пусть $G$ — группа, $H$ — её собственная подгруппа, $a$ — элемент простого порядка $p\neq 2$ из $H$, удовлетворяющие следующему условию: для всякого $g\in G\setminus H$ $\text{гр}\,(a,g^{-1}ag)$ — группа Фробениуса с неинвариантным множителем $(a)$. Доказывается, что 1) $H=T\leftthreetimes N_{G}((a))$ и $K=T\leftthreetimes (a)$ — либо группа Фробениуса с неинвариантным множителем $(a)$ и ядром $T$, либо $K=(a)$; 2) $F_{a}=T\cup\mathfrak{M}$ — подгруппа в $G$ и $G=F_{a}\leftthreetimes N_{G}((a))$, где $\mathfrak{M}$ — множество всех $p$-вещественных элементов из $G\setminus H$ относительно $a$, 3) $E=T\setminus L$ — инвариантное множество в $G$, где $L$ — множество всех таких элементов из $T$, каждый из которых $p$-веществен относительно некоторого элемента из $B=\bigcup\limits_{x\in G}[(a^{x})\setminus\{1\}]$.