Нормальные дополнения и сопряженность инволюций в конечной группе

Теорема $1$. Пусть $D$ — $(TI)$-подмножество конечной группы $G$ и $H=N_{G}(D)$. Тогда $G$ имеет нормальную подгруппу $N$ такую, что $G=HN$ и $H\cap N=\langle H\setminus D\rangle$.
Отсюда вытекает классическая теорема Фробениуса-Виландта.
В теореме $2$ при условии теоремы $1$ и при некотором дополнительном предположении о таблице характеров $H$ утверждается, что $\langle I\setminus I^{G}_{0}\rangle\neq G$, где $I$ — множество всех инволюций группы $G$, а $I_{0}$ — множество всех инволюций из $H$, инвертирующих по крайней мере один элемент из $D$. Эта теорема применяется для получения утверждений о непростоте группы, а также утверждений о сопряженности инволюций в простой группе.