Дистрибутивные решетки подпространств и проблема равенства для алгебр с одним соотношением

Пусть $F$ — свободная ассоциативная алгебра над полем $k$. Обозначим через $F^{m}$ подпространство, натянутое на все одночлены степени $m\geqslant 0$.
Основная теорема. Пусть $f$ — однородный элемент алгебры $F$. Тогда множество подпространств $\{F^{n}fF^{m}\mid m,n\geqslant 0\}$ порождает дистрибутивную решетку подпространств пространства $F$.
Основная теорема используется для изучения алгебр с одним соотношением $f=0$, где многочлен $f\in F$ удовлетворяет условию

$$f_{d}F_{d}\cap F_{d}f_{d}=(fF\cap Ff)_{d}.$$

Здесь $f_{d}$ — старшая однородная часть элемента $f\in F$, $H_{d}=\{h_{d}\mid h\in H\}$. В частности, в алгебрах с одним соотношением, удовлетворяющим этому условию, разрешима проблема равенства.