Признаки непростоты конечной группы на языке характеров

Из основной теоремы $1$, формулируемой довольно громоздко, выводятся следующие признаки непростоты конечной группы. Пусть $g$ — элемент конечной группы $G$. Тогда равносильны утверждения: А1) $\langle g^G\rangle\ne G$; А2 ) существует функция $\mu=\sum_{i=1}^n a_ix_i$, где $a_i\in R\setminus\{0\}$ и $x_i\in Jrr(G)$, такая что а) $x_1$ — главный характер $G$, б) $\mu$ исчезает на $\{1,g\}\cup g^Gg^G$, в) $\{x_1(g),\dots,x_n(g)\}\subseteq\mathbb{R}$, г) из $a_i<0$ и $a_j<0$ следует, что $\frac{x_i(g)}{x_i(1)}=\frac{x_j(g)}{x_j(1)}$. Другое следствие из теоремы $1$ дает для вещественного элемента $g$ необходимое и достаточное условие неравенства $[g,G]\ne G$. С помощью теоремы $1$ доказывается также теорема $2$, расширяющая теорему $2$ предыдущей работы автора (РЖМат, 1976, 12А257).