Критерий вхождения в подгруппу, порожденную двумерными элементарными матрицами

Пусть $m$, $n$ — целые числа, $m\geqslant2$, $n\geqslant2$. Дается критерий вхождения матрицы $x$ из $SL_2(\mathbb{Z})$ в подгруппу $H_{m, n}$, порожденную матрицами $t_{12}(m)$ и $t_{21}(n)$. Определяются две целочисленные функции: $f$ от шести аргументов (явной формулой) и $\varphi$ от семи аргументов (рекуррентно по последнему аргументу) и доказывается, что матрица $x\in SL_2(\mathbb{Z})$ с условием $x_{11}\equiv x_{22}\equiv 1\pmod {mn}$, $x_{12}\equiv 0\pmod m$, $x_{21}\equiv 0\pmod n$ тогда и только тогда принадлежит подгруппе $H_{m, n}$, когда $\varphi(x, m, n, 1)<0, \dots, \varphi(x, m, n, s)<0$, где $s=f(x, m, n)$. В частности, при $m=n=2$ получается теорема Санова (РЖМат, 1983, 1А189К, с. 130). Аналогично решается проблема вхождения произвольной матрицы из $GL_2(R)$ в подгруппу $GE_2(R)$, порожденную всеми элементарными матрицами, где $R=K[x_1,\dots,x_m]$, $K$ — поле. Указываются две матрицы, порождающие в $GL_2(R)$ свободную подгруппу, пересекающуюся с $GE_2(R)$ по единице.