Решеточная и групповая дополняемость в периодических локально разрешимых группах

Рассматриваются только периодические локально разрешимые группы трех типов: 1) локально нормальные группы, 2) группы с конечными силовскими $p$-подгруппами по всем простым числам $p$ и 3) группы с условием минимальности. Пусть $\omega$ — множество всех простых чисел, $\pi\subseteq\omega$, $\pi'=\omega\setminus\pi$, $\tau(p)$ — множество всех простых чисел, не превышающих простого числа $p$, $G_\pi$ — некоторая силовская $\pi$-подгруппа группы $G$, $\varphi$ — гомоморфизм группы $G$ с ядром $\Phi(G)$, где $\Phi(G)$ — подгруппа Фраттини группы $G$, если $G$ — $p$-группа, то $\Omega(G)$ и $\mho(G)$ — подгруппы в $G$, соответственно порожденные всеми элементами порядка $p$ из $G$ и $p$-ми степенями всех элементов из $G$. Группа $G$ называется $\Phi_\pi C$-группой, если при всех $p\in\pi$ для всякой $p$-подгруппы $A$, содержащей $[\Phi(G)]_{p}$, из решеточной дополняемости ее в $G$ с помощью подгруппы, содержащей $[\Phi(G)]_{p}$, следует, что в $G$ найдется подгруппа $B$ такая, что $AB=G$ и $A\cap B\leqslant\Phi(G)$. Говорят, что локально сверхразрешимая группа $G$ типов 1) или 2) удовлетворяет условию $\Phi_\pi$, если при всех $p\in\pi$ из того, что $G_{\tau(p)}=G_p\leftthreetimes H$, $g\in C_{G_p}(H)$ и $g^\varphi\notin \Omega(G_p^\varphi)\mho(G_p^\varphi)$, следует $\langle g\rangle\cap\Phi(G)\ne1$. Показано, что локально сверхразрешимые группы типов 1) или 2), удовлетворяющие условию $\Phi_\omega$, а также группы типа 3), у которых всякое добавление к полной части является $\Phi_\omega C$-группой, — это в точности $\Phi_\omega C$-группы соответственно типов 1), 2) и 3).