О симметрических подгруппах конечных групп

Изучается специальный случай вложения симметрической группы в конечную группу: $G$ — конечная группа, порожденная классом $D$ сопряженных инволюций, $S\simeq S_n$ — подгруппа в $G$, $\Delta=S\cap D$ — класс транспозиций и $S$ действует транзитивно на $D-\Delta$ (условие $1$). Доказывается, что если выполнено условие $1$ и $C_\Delta(d_1)\ne C_\Delta(d_2)$ для любых различных элементов $d_1$, $d_2$ из $D-\Delta$, то $D$ — класс $3$-транспозиций (теорема $1$). Если выполнено условие $1$ и $C_\Delta(d)=\varnothing$ при $d\in D-\Delta$, то либо $n\leqslant 4$, либо $G=O_\infty(G)S$, либо $n=6$, $G\simeq S_7$, $D$ — класс типа $(2)^3$.