Представление алгебр треугольными матрицами

Рассматриваются ассоциативные алгебры над коммутативным кольцом $\Phi$ с единицей. Алгебра, вложимая в алгебру треугольных матриц порядка $n$ над коммутативной алгеброй, называется $T_n$-алгеброй. Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы алгебра являлась $T_2$-алгеброй. Если $\Phi$ — поле, то алгебра $R$ является $T_3$-алгеброй тогда и только тогда, когда для любых элементов $a_i$, $b_i$ коммутанта алгебры $R$ и любого $x\in R$ из соотношения $\sum_ia_ib_i=0$ следует соотношение $\sum_ia_ixb_i=0$. В случае, когда $\Phi$ — поле, найдены также необходимые и достаточные условия в виде квазитождеств для того, чтобы градуированная алгебра вкладывалась с сохранением естественной градуировки в алгебру треугольных матриц порядка $n$ над коммутативной алгеброй.