Конечность ширины симплектических групп над кольцами алгебраических чисел относительно элементарных матриц

Следуя Ю. И. Мерзлякову (РЖМат, 1967, 10А302; 1981, 4А396К, с. 123), будем говорить, что группа имеет ширину $m$ относительно порождающего множества $X$, если каждый ее элемент допускает запись $a_1\dots a_r$, $a_i\in X\cup X^{-1}$, $r\leqslant m$, и $m$ нельзя уменьшить. Пусть $\mathcal{o}$ — кольцо целых алгебраических чисел конечного алгебраического расширения $K$ поля рациональных чисел. Доказывается, что ширина группы $Sp_{2n}(\mathcal{o})$ при $n\geqslant3$ относительно множества элементарных симплектических матриц не больше, чем $3n(n+1)+68\tau(\Delta)+11$, где $\tau(\Delta)$ — число различных простых делителей дискриминанта $\Delta$ поля $K$. Если дискриминант примарен или число классов поля $K$ равно единице, то ширина не выше, чем $3n(n+1)+63$. Отметим, что ширина группы $Sp_4(\mathbb{Z})$ бесконечна.