О влиянии строения графа на поведение его автоморфизмов

Пусть $\Gamma$ — связный локально-конечный вершинно-симметрический граф, $x\in V(\Gamma)$, $h\in\mathrm{Aut}\,\Gamma$. Для $n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ положим $\xi_{\Gamma, x}(h, n)=\max\{d_\Gamma(y, h(y))\mid y\in B_\Gamma(x, n)\}$, где $d_\Gamma(\cdot, \cdot)$ — обычная метрика на $V(\Gamma)$; $B_\Gamma(x, n)$ — шар радиуса $n$ с центром в $x$ в этой метрике. Доказывается, что если $\ln|B_\Gamma(x, n)|=O(n^\alpha)$, $\xi_{\Gamma, x}(h, n)=o(n^{1/a-1})$ при $n\to\infty$ для некоторого $1/2\leqslant a<1$, то на $V(\Gamma)$ существует такая система импримитивности $\sigma$ группы $\mathrm{Aut}\,\Gamma$ с конечными блоками, что подгруппа $\langle \mathrm{Cl}_{\mathrm{Aut}\,\Gamma}(h)\rangle$ индуцирует на $V(\Gamma)/\sigma$ конечно-порожденную нильпотентную группу.