Гиперцентральные ряды и парные пересечения силовских подгрупп групп Шевалле

Пусть $G(K)$ – группа Шевалле над полем $K$ нормального типа, ассоциированная с системой корней $G=\Phi$, или скрученного типа $G={}^m\Phi$, где $m=2,3$. Ее корневые подгруппы $X_s$ для всевозможных $s\in G^+$ порождают максимальную унипотентную подгруппу $U=UG(K)$; при $p=\operatorname{char}\,K>0$ это – силовская $p$-подгруппа группы $G(K)$. Исследуются $G$ и $K$, для которых существует парное пересечение $U\cap U^g$ $(g\in G(K))$, не сопряженное в $G(K)$ с нормальной подгруппой группы $U$. Когда $K$ – конечное поле, это равносильно тому, что нормализатор пересечения $U\cap U^g$ в $G(K)$ имеет $p$-кратный индекс. Положим $p(\Phi)=\max\{(r,r)/(s,s)\mid r,s\in\Phi\}$. Доказывается
Теорема 1. Пусть $G(K)$ – группа Шевалле лиева ранга, большего чем 1, над конечным полем $K$ характеристики $p$, $U$ – ее силовская $p$-подгруппа, совпадающая с $UG(K)$, причем либо $G=\Phi$ и $p(\Phi)$ отлично от чисел $p$ и 1, либо $G(K)$ является скрученной группой. Тогда $G(K)$ содержит такой мономиальный элемент $n$, что индекс нормализатора пересечения $U\cap U^n$ в группе $G(K)$ делится на $p$.
Пусть $K$ – ассоциативно коммутативное кольцо с единицей, $\Phi(K,J)$ – конгруэнцподгруппа группы Шевалле $\Phi(K)$ по модулю нильпотентного идеала $J$. Исследуется гиперцентральный ряд $1\subset Z_1\subset Z_2\subset\cdot\cdot\cdot\subset Z_{c-1}$ группы $U\Phi(K)\Phi(K,J)$. Теорема 2 показывает, что при дополнительном ограничении на частное идеалов $(J^t: J)$ центральные ряды связаны соотношением $Z_i=\Gamma_{c-i}C,\ 1\leqslant i<1$, где $C$ – подгруппа центральных диагональных элементов. Такая связь существует, в частности, если $K=Z_{p^m}$ и $J=(p^d)$, $1\leqslant d<m, \,d\mid m$.