Частично упорядоченное $\Delta^0_2$-множество без позитивных представлений

С. Ю. Подзоров [Матем. труды, 9, No. 2 (2006), 109–132] доказал, что имеет место следующая
ТЕОРЕМА. Пусть $\langle L,\le_L\rangle$ – локально решёточное частично упорядоченное множество, $v$ – нумерация для $L$, такая что отношение $v(x)\le_L v(y)$ $\Delta^0_2$-вычислимо. Тогда существует нумерация $\mu$ для $L$, такая что отношение $\mu(x)\le_L\mu(y)$ вычислимо перечислимо.
Он же поставил вопрос, требуется ли условие о том, что $\langle L,\le_L\rangle$ является локально решёточным частично упорядоченным множеством, или же теорема верна для любого частично упорядоченного множества (ч.у.м.). В данной работе строится ч.у.м., для которого нарушается заключение теоремы.