О пронормальности холловых подгрупп в своём нормальном замыкании

Известно, что для любого множества $\pi$ простых чисел эквивалентны утверждения:
(1) в любой конечной группе $\pi$-холловы подгруппы сопряжены;
(2) в любой конечной группе $\pi$-холловы подгруппы пронормальны.
Доказывается, что утверждения (1) и (2) эквивалентны также следующему:
(3) в любой конечной группе $\pi$-холловы подгруппы пронормальны в своем нормальном замыкании.
Ранее [Коуровская тетрадь, вопр. 18.32] был поставлен вопрос о том, всегда ли в конечной группе $\pi$-холловы подгруппы пронормальны в своем нормальном замыкании? Недавно М. Н. Нестеров [Сиб. электрон. матем. изв., 12 (2015), 1032–1038] доказал эквивалентность утверждения (3) и утверждений (1), (2) для любого конечного множества $\pi$. Поскольку существуют примеры конечных множеств $\pi$ и конечных групп $G$, таких что $G$ содержит более одного класса сопряженных $\pi$-холловых подгрупп, тем самым было получено отрицательное решение упомянутого вопроса. Наш основной результат показывает, что требование конечности множества $\pi$ в эквивалентности утверждений (1), (2) и (3) несущественно.