Выпуклость множеств достижимости систем управления

Представлены новые результаты, касающиеся выпуклости образа множества подуровня при $C^1$-диффеоморфизме с Липшиц-непрерывной производной. С помощью критерия выпуклости множеств подуровня $C^1$-погружений доказан критерий выпуклости для образов таких подмножеств уровня при диффеоморфизме. Дается ответ на вопрос Б. Т. Поляка о выпуклости образов малых шаров в равномерно выпуклых банаховых пространствах. Представлен критерий и достаточное условие выпуклости множества достижимости из шара начальных условий при решении обыкновенных дифференциальных уравнений. Утверждения сформулированы в терминах условий, накладываемых на правую часть уравнений, и особенно легко проверяются в случае правой части из класса $C^2$. На примере показано, что полученные условия выпуклости множества достижимости из шара начальных состояний дают достаточно большой шар, пригодный для использования в вычислительных процедурах.