О надежном восстановлении сигналов по непрямым наблюдениям

Рассматривается следующая линейная обратная задача с неопределенностью. При имеющемся наблюдении ${\omega=Ax_*+\zeta}$, где $A{ \in } \mathbf{R}^{m\times p}$ и $\zeta{ \in } \mathbf{R}^{m}$ – шум наблюдения, требуется восстановить неизвестный сигнал $x_*$, который принадлежит заданному выпуклому множеству ${{\mathcal X}\subset \mathbf{R}^{n}}$. В отличие от стандартной постановки такой задачи предполагается, что модельный шум $\zeta$ является “искаженным”, т.е. содержит детерминированную, плотную или сингулярную, компоненту. В частности, $\zeta$ допускает разложение ${\zeta=N\nu_*+\xi}$, где $\xi$ – случайный шум, а $N\nu_*$ – “адверсариальное загрязнение” с известным множеством ${{\mathcal N}\subset \mathbf{R}^n},$ т.е. $\nu_*{ \in } {\mathcal N}$ и $N{ \in } \mathbf{R}^{m\times n}$. Рассматриваются две постановки, в которых ${\mathcal N}$ является либо выпуклым ограниченным множеством, либо множеством разреженных векторов (с не более чем $s$ ненулевыми элементами). Исследуются свойства “устойчивых” по отношению к загрязнению полиэдральных оценок – специального класса нелинейных оценок, представленных в [1, 2]. Показывается, как оценки такого рода с гарантированным качеством могут быть построены в ситуации, когда множество сигналов является эллитопом (по существу, симметричным выпуклым множеством, ограниченным квадратичными поверхностями), с помощью эффективных процедур выпуклой оптимизации.