Лемма Калмана–Попова–Якубовича для упорядоченных полей

Приводится обобщение леммы Калмана–Попова–Якубовича для случая, когда в качестве поля скаляров рассматривается упорядоченное поле, обладающее следующим свойством: если каждое значение многочлена от одной переменной есть сумма квадратов, то сам многочлен есть сумма квадратов многочленов. Такое поле названо полем, обладающим свойством сумм квадратов, или SOS-полем. SOS-полями являются, в частности, поля рациональных чисел, алгебраических чисел, вещественных чисел, рациональных дробей от нескольких переменных с коэффициентами из указанных полей. Доказано, что утверждение леммы об эквивалентности частотного и линейного матричного неравенств остается справедливым, если в качестве поля скаляров рассматривается SOS-поле. Приведен пример, показывающий, что в SOS-поле выполнение частотного неравенства не влечет разрешимости соответствующего алгебраического уравнения Риккати.

Статья представлена к публикации членом редколлегии: А. Л. Фрадков