Точки Лебега для функций из обобщенных классов Соболева $M_{\alpha}^{p}(X)$ в критическом случае

Классическая теорема Лебега утверждает, что для суммируемой функции почти любая точка (за исключением множества нулевой меры) является ее точкой Лебега. Множество точек, не являющихся точками Лебега, называют исключительным. Для более регулярных функций (например, принадлежащих определенному функциональному пространству) можно оценивать «размер» исключительного множества с помощью более тонких, чем мера, характеристик. В работе исследуются свойства точек Лебега для функций из классов Соболева на произвольных метрических пространствах в критическом случае $\gamma=\alpha p$, где $\gamma$ – число, играющее роль размерности пространства, $\alpha, p$ – показатели гладкости и суммируемости соответственно. Получены оценки на «размер» исключительного множества в терминах емкостей и размерности Хаусдорфа, в частности показано, что исключительное множество имеет нулевую емкость и его размерность Хаусдорфа равна нулю. Доказана экспоненциальная скорость сходимости для точек Лебега. В докритическом случае $\gamma>\alpha p$ похожие результаты известны.