Inclusion of Hajiasz – Sobolev class $M_p^{\alpha}(X)$ into the space of continuous functions in the critical case

Пусть $(X, d, \mu)$ – метрическое пространство с мерой, удовлетворяющей условию удвоения с показателем $\gamma$, т. е. для любых шаров $B(x, R)$ и $B(x, r), r < R$, выполняется неравенство $\mu(B(x, R)) \leq a_{\mu}(\frac{R}{r})^{\gamma}\mu(B(x, r))$ для некоторых положительных постоянных $\gamma$ и $a_\mu$. На такой общей структуре можно ввести пространство Хайлаша – Соболева $M_p^{\alpha}(X)$, которое в евклидовом случае совпадает с классическим соболевским пространством при $p > 1,\alpha = 1$. В статье обсуждается вложение функций из пространств Хайлаша – Соболева $M_p^{\alpha}(X)$ в пространство непрерывных функций при $p \leq 1$ в критическом случае $\gamma =\alpha p$. Более точно, показано, что любая функция из класса Хайлаша – Соболева $M_p^{\alpha}(X), 0 < p \leq 1, \alpha > 0$, имеет непрерывного представителя в случае равномерно совершенного пространства $(X, d, \mu)$.