О непрерывности функторов вида $C(X, Y)$

Рассматривается категория $\mathcal{P}$, объекты которой – пары топологических пространств $(X, Y)$. Каждой такой паре ставится в соответствие пространство непрерывных отображений $C_{\tau}(X, Y)$ с топологией $\tau$. Наложением некоторых ограничений на объекты и морфизмы категории $\mathcal{P}$ выделяется подкатегория $\mathcal{K} \subset \mathcal{P}$, для которой указанное отображение является функтором из $\mathcal{K}$ в категорию Тор топологических пространств и непрерывных отображений. Исследуется вопрос о том, при каких дополнительных условиях на $\mathcal{K}$ указанный функтор непрерывен. При этом решается задача нахождения предела обратного спектра в категории $\mathcal{P}$. Показано, что она сводится к отысканию пределов возникающих естественным образом прямого и обратного спектров в категории Top. В качестве $\tau$ рассмотрены топология поточечной сходимости, компактно-открытая топология и топология графика.