Бесконечная линейная и алгебраическая независимость значений $F$-рядов в полиадических лиувиллевых точках

В настоящей работе доказывается бесконечная линейная и алгебраическая независимость значений $F$-рядов в полиадических лиувиллевых точках. Используется модификация обобщенного метода Зигеля-Шидловского. $F$-ряд – это ряд вида $f_n = \sum_{n=0}^{\infty}a_n n! z^n$, коэффициенты которого $a_n$ удовлетворяют некоторым арифметическим свойствам. Эти ряды сходятся в поле $\mathbb{Q}_p$ – $p$-адических чисел и их алгебрических расширений $\mathbb{K}_v$. Полиадическое число – это ряд вида $\sum_{n=0}^{\infty} a_nn!, a_n \in \mathbb{Z}$. Лиувиллево число – это вещественное число $x$ такое, что для всех положительных целых чисел $n$ существует бесконечное число пар целых чисел $(p, q), q > 1$ таких, что $0 < \left| x - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^n}. $ Полиадическое лиувиллево число $\alpha$ обладает тем свойством, что для любых чисел $P, D$ существует целое число $|A|$ такое, что для всех простых чисел $p \leq P$ выполняется неравенство $|\alpha - A|_p < A^{-D}. $ Бесконечная линейная (алгебраичская) независимость означает, что для любой ненулевой линейной формы (любого ненулевого многочлена) существует бесконечно много простых чисел $p$ и нормирований $v$, продолжающих $p$-адическое нормирование на алгебраическое числовое поле $\mathbb{K}$, со следующим свойством: результат подстановки в рассматриваемую линейную форму (многочлен) значений $F$-рядов вместо переменных является отличным от нуля элементом поля $\mathbb{K}_v$.
Ранее было доказано лишь существование хотя бы одного простого числа $p$ с перечисленными выше свойствами.