О существовании $RR$-многогранников, связанных с икосаэдром

Работа относится к тому направлению в теории многогранников в $E^3$, в котором изучаются классы выпуклых многогранников, расширяющих класс правильных (платоновых): многогранники таких классов сохраняют лишь некоторые свойства правильных многогранников.
Ранее автором были найдены новые классы многогранников, объединённых такими условиями симметрии на элементы многогранника, при которых условия правильности граней не предполагались заранее. При этом была доказана полнота списков рассмотренных классов.
Далее автором был рассмотрен класс так называемых $RR$-многогранников.
$RR$-многогранником (от слов rombic и regular) называется выпуклый многогранник, у которого существуют симметричные ромбические вершины и существуют грани, не принадлежащие ни одной звезде этих вершин; причём все грани, не входящие в звезду ромбической вершины, являются правильными многоугольниками.
Если гранная звезда $Star(V)$ вершины $V$ многогранника состоит из $n$ равных и одинаково расположенных ромбов (не квадратов), имеющих общей вершиной $V$, то $V$ называется ромбической. Если вершина $V$ принадлежит оси вращения порядка $n$ звезды $Star(V)$, то $V$ называется симметричной. Симметричная ромбическая вершина $V$ называется тупоугольной, если ромбы звезды $Star(V)$ в вершине $V$ сходятся своими тупыми углами.
Примером RR-многогранника является удлинённый ромбододекаэдр.
Ранее автором были найдены все $RR$-многогранники с двумя симметричными ромбическими вершинами.
В настоящей работе рассматривается вопрос о существовании замкнутых выпуклых $RR$-многогранников в $E^3$ с одной симметричной тупоугольной ромбической вершиной и правильными гранями одного типа. Доказывается теорема о том, что существует только два таких многогранника: $13$-гранник и $19$-гранник. Оба этих многогранника получены из правильного: икосаэдра. Доказательство существования $19$-гранника основано, в частности, на теореме А.Д.Александрова о существовании выпуклого многогранника с данной развёрткой.