Рассмотрение особого ряда асимптотической формулы задачи Клоостермана

В данной работе рассматривается задача о представлении натурального числа $n$ диагональной квадратичной формой с четырьмя переменными $ax^2+by^2+cz^2+dt^2$, где $a$, $b$, $c$, $d$ – заданные положительные целые числа. Ставится вопрос — определить, при каких условиях на коэффициенты $a$, $b$, $c$, $d$ не существует такого представления для заданного $n$. Такие условия, полученные на основании теории сравнений или без доказательства, приводятся в работе Клоостермана (1926). Клоостерман также получил асимптотическую формулу для числа решений уравнения $n=ax^2+by^2+cz^2+dt^2$. Главный член формулы является рядом $\sum\limits_{q=1}^{+\infty}\Phi(q)$ от мультипликативной функции $\Phi(q)$, содержащей одномерные суммы Гаусса с коэффициентами $a$, $b$, $c$, $d$. Наша работа связана с изучением представления этого особого ряда в виде произведения по простым числам $\prod\limits_{p| q}(1+\Phi(p)+\Phi(p^2)+\cdots)$.
Ранее авторы рассмотрели случай, когда $p\neq2$. С использованием точных формул для одномерных сумм Гаусса, суммы Рамануджана и обобщенной суммы Рамануджана от степени простого числа доказаны условия на коэффициенты $a$, $b$, $c$, $d$, $n$, при которых уравнение $n=ax^2+by^2+cz^2+dt^2$ не имеет решений.
В этой работе рассматривается случай, когда $p=2$ и $n$ – нечетное. С учетом формул для одномерных сумм Гаусса от степени двойки возникают некоторые суммы, родственные сумме Клоостермана, которые ранее не изучались. Для таких сумм от степени двойки нами были получены точные значения. Это позволило привести полное доказательство условий для коэффициентов $a$, $b$, $c$, $d$, хотя бы два из которых четные. При этих условиях нечетное натуральное число нельзя представить диагональной квадратичной формой с четырьмя переменными. Отметим, что некоторые из этих условий являются новыми и не упоминаются в работе Клоостермана.