Вариационное исчисление в целом: рождение, становление, приложения

Работа посвящена эволюции понятий и методов вариационного исчисления в целом – раздела математики, возраст которого составляет немного более столетия. Предметом этой области является изучение качественных характеристик вариационных задач. В развитии вариационного исчисления в целом можно выделить несколько периодов с присущими каждому из них чертами. Первый период определим с конца XIX в. до конца 1940-х гг., когда происходит рождение и становление теории, которая сложилась из двух главных частей – теории Морса и теории категорий Люстерника-Шнирельмана. Здесь еще заметно выступают черты традиционной математики. В следующий период – с конца 1940-х до конца 1970-х гг. вариационное исчисление в целом сформировалась как отдельная область математики, и она обрела свою современную форму, основанную на понятиях и методах алгебраической топологии. Открылись широкие возможности для решения новых задач математики и был получен целый ряд впечатляющих результатов. Современный период можно определить с конца 1970-х гг. до настоящего времени. Главной его чертой является невиданное ранее сближение математики и области ее приложений, особенно с физикой. Не всегда стало возможным указать различимую границу между обеими областями науки, появился даже термин «физическая математика». Вариационное исчисление в целом входит в качественную теорию, представляющей значительную часть современной математики и находит широкие применения в приложениях. Но ее место еще более значительно, оно составляет одну из основ, формирующей наше мировоззрение.