О перечислении выпуклых $RR$-многогранников

Задача перечисления класса многогранников с заданными условиями симметрии — одна из важных задач современной теории выпуклых многогранников. Известно много работ, в которых ставится задача о полном перечислении многогранников с условиями симметрии. Если ограничиться многогранниками в $E^3$, то примерами таких многогранников являются правильные, правильные звёздчатые, Архимедовы многогранники, класс Джонсона-Залгаллера, многогранники с условными рёбрами и многогранники с паркетными гранями. Конкретно, условия симметрии для класса замкнутых выпуклых правильных многогранников состоят в условиях правильности равных граней многогранника и однотипности его вершин. Для многогранников Джонсона-Залгаллера — в условии правильногранности замкнутого выпуклого многогранника. Известно, что последний класс помимо правильных и архимедовых многогранников, бесконечной серии призм и антипризм, содержит 92 многогранника с правильными гранями.
Ранее автором были найдены новые классы многогранников (например, так называемые многогранники, сильно симметричные относительно вращения); они обладают такой симметрией элементов, при которой условия правильности граней не предполагаются заранее. При этом была доказана полнота списков рассмотренных классов.
Возвращаясь к таким условиям симметрии, которые включают условия правильности граней, автором был введён класс замкнутых выпуклых $RR$-многогранников (от слов rhombic и regular). Коротко этот класс определяется следующими условиями симметрии. Грани $RR$-многогранника можно разбить на два непустых непересекающихся множества — множество равных симметричных ромбических звёзд, не имеющих общих рёбер, и множество правильных граней.
При этом вершина $V$ называется ромбической, если гранная звезда $Star(V)$ вершины $V$ многогранника состоит из $n$ равных и одинаково расположенных ромбов (не квадратов), имеющих общей вершиной $V$. Если вершина $V$ принадлежит оси вращения порядка $n$ звезды $Star(V)$, то $V$ называется симметричной. Симметричная ромбическая вершина $V$ называется тупоугольной, если ромбы звезды $Star(V)$ в вершине $V$ сходятся своими тупыми углами. Примером $RR$-многогранника является удлинённый ромбододекаэдр.
В настоящей работе приводится изменённое доказательство теоремы о существовании и единственности замкнутого выпуклого $RR$-многогранника, связанного с икосаэдром и доказано существование двадцать четвёртого $RR$-многогранника с треугольными гранями и с четырьмя тупоугольными ромбическими вершинами. Доказаны также теоремы о несуществовании некоторых многогранников с правильными гранями различного типа, "близких" к $RR$-многогранникам.