О некоторых методах оценки показателя иррациональности значений функции $\arctan x$

Оценивание качества приближения иррационального или трансцендентного числа рациональными дробями является одним из направлений теории диофантовых приближений. Количественная характеристика такого приближения называется мерой иррациональности числа. С конца 19 века учёными разрабатывались методы оценки меры иррациональности и были получены её значения для огромного количества иррациональных и трансцендентных чисел. Наиболее часто используемый метод получения таких оценок – построение линейных форм с целыми коэффициентами, приближающих данную величину и исследование их асимптотического поведения. Приближающие линейные формы конструируется на основе цепных дробей, аппроксимаций Паде, бесконечных рядов, вещественных и комплексных интегралов. Способы исследования асимптотики таких форм в настоящее время достаточно стандартны, но построение линейной формы, обладающей хорошими приближающими свойствами, и есть главная задача.
Первые оценки значений функции $\arctan x$ были получены М.Хуттнером (1987) на основе интегрального представления гипергеометрической функции Гаусса. В 1993 г. А.Хеймонен, Т.Матала-Ахо, К. Ваананен, доказали общую теорему об оценках мер иррациональности логарифмов рациональных чисел, а позже с помощью приближающей конструкции, использующей полиномы Якоби, получили новые оценки, в частности для значений функции $\arctan x$. В дальнейшем на основе различных интегралов строились как общие методы оценивания значений $\arctan x$, так и специализированные методы для конкретных значений. В работах Е.Б.Томашевской, получившей в 2008 общую оценку для значений $\arctan\frac{1}{n}, n\in\mathbb{N}$, был использован комплексный интеграл, имеющий симметричную подынтегральную функцию. Свойство симметричности сыграло важную роль при получении оценки, поскольку оно улучшало асимптотические свойства коэффициентов линейной формы. Некоторые интегральные конструкции, использование другими исследователями, также обладали симметричностью разных типов. В данной статье рассмотрены некоторые методы оценивания значений функции $\arctan x$, их особенности, способ исследования, и указаны наилучшие на настоящее время оценки.