О решетках конгруэнций алгебр с оператором и симметрической основной операцией
В. Л. Усольцев Волгоградский государственный социально-педагогический университет (г. Волгоград)
Аннотация:
В статье изучаются свойства решеток конгруэнций алгебр с одним оператором и основной операцией меньшинства, определенной специальным образом и называемой симметрической. Операцией меньшинства называется тернарная операция
$d(x,y,z)$, удовлетворяющая тождествам
$d(x, y, y) = d(y, y, x) = d(y, x, y) = x$. Алгебра называется цепной, если она имеет линейно упорядоченную решетку конгруэнций. Алгебра подпрямо неразложима, если она имеет наименьшую ненулевую конгруэнцию. Алгеброй с операторами называется универсальная алгебра, сигнатура которой состоит из двух непустых непересекающихся частей: основной, которая может содержать произвольные операции, и дополнительной, состоящей из операторов. Операторами называются унарные операции, действующие как эндоморфизмы относительно основных операций, то есть перестановочные с основными операциями. Унаром называется алгебра с одной унарной операцией. Если
$f$ — унарная операция из сигнатуры
$\Omega$, то унар
$\langle A, f\rangle$ называется унарным редуктом алгебры
$\langle A, \Omega\rangle$.
Получено описание алгебр с одним оператором и основной симметрической операцией, решетка конгруэнций которых является цепью. Показано, что алгебра данного класса является цепной тогда и только тогда, когда она подпрямо неразложима. Получено описание алгебр данного класса, решетки конгруэнций которых совпадают с решетками конгруэнций унарных редуктов этих алгебр.
Ключевые слова:
решетка конгруэнций, алгебра с операторами, унарный редукт алгебры, цепная алгебра, подпрямо неразложимая алгебра.
УДК:
512.579
Поступила в редакцию: 18.12.2023
Принята в печать: 21.03.2024
DOI:
10.22405/2226-8383-2024-25-1-103-115