Об одном уравнении типа Брио—Буке

Данная статья посвящена задаче изучения мероморфных решений алгебраических дифференциальных уравнений, являющейся традиционной для теории дифференциальных уравнений. К настоящему времени достаточно хорошо исследован случай линейных уравнений. Что касается нелинейных уравнений, то здесь результатов, относящихся к более или менее общим классам уравнений, сравнительно немного. Одним из классов алгебраических дифференциальных уравнений, где получен ряд общих результатов, являются так называемые уравнения типа Брио-Буке. Это уравнения вида $P(y, y^{(n)}) = 0$, где $P$ — многочлен с комплексными коэффициентами, $n \in \mathbb{N}$. Исследование мероморфных решений уравнений такого типа начато в работах Ш. Брио, Ж. К. Буке и Ш. Эрмита, которые описали все возможные решения уравнений вида $P(y, y') = 0$, показав, что все они лежат в классе $W$, состоящем из рациональных функций, рациональных функций от некоторой экспоненциальной функции и эллиптических функций. Далее была опубликована работа Э. Пикара, который доказал, что все решения уравнений вида $P(y, y'')=0$ также лежат в $W$.
В дальнейшем возникла гипотеза о том, что у любого уравнения вида $P(y, y^{(n)}) = 0$ (при некоторых ограничениях на многочлен $P$) все мероморфные решения лежат в $W$. Над доказательством этой гипотезы работали Э. Хилле, Р. Кауфман, С. Бэнк, А. Ерёменко, Л. Лиао, Т. Нг, А. Янченко и другие математики. К настоящему времени справедливость гипотезы установлена во многих случаях. Остается, однако, ряд случаев, в которых гипотеза не доказана и не опровергнута.
В данной работе рассмотрен один такой случай, а именно уравнения $y^{(n)}=y^m$, где $ n,m \in \mathbb{N}, m\geqslant2$. Найдено необходимое и достаточное условие существования ненулевых мероморфных решений указанных уравнений и сами эти решения.