Метод решения задачи Дельсарта для взвешенных дизайнов на компактных однородных пространствах

Предложен метод решения экстремальной задачи Дельсарта $A_{s}$ для взвешенных дизайнов. Величина $A_{s}$ равна верхней грани $f(1)$ на классе непрерывных неотрицательных на $[-1,1]$ функций $f$, представимых разложением Фурье–Якоби с единичным нулевым коэффициентом и неположительными коэффициентами, начиная с номера $s+1$. Основное приложение задачи $A_{s}$ заключается в оценке снизу числа узлов взвешенных $s$-дизайнов (или квадратурных формул, точных на подпространстве полиномов степени не выше $s$) на компактных однородных римановых пространствах ранга 1, где зональными функциями являются многочлены Якоби. Метод решения задачи $A_{s}$ базируется на выпуклом анализе и следует результатам В.В. Арестова и А.Г. Бабенко для случая сферических кодов, а также частным вариантам, полученным И.А. Мартьяновым и автором. Метод состоит из нескольких шагов, включая формулировку двойственной задачи для меры Стилтьеса, доказательство существования экстремальной функции и меры, выписывание соотношений двойственности, характеризация на их основе экстремальных функции и меры, сведение задачи к полиномиальной системе уравнений, доказательство в конкретных случаях существования в окрестности численного решения единственного действительного аналитического решения системы. Этот шаг делается сертификацией решения при помощи пакета HomotopyContinuation.jl, где реализован интервальный метод Кравчука. Также применяется равномерная оценка многочленов Якоби типа Стилтьеса–Бернштейна. Описанным способом в качестве примера было решено две новых задачи Дельсарта. Также в случае, отвечающим проективным пространствам доказано, что экстремальная функция является многочленом. Для случая, отвечающего сфере, это пока открытая проблема. Данные результаты полезны в проблеме дискретизации интегральной нормы при оценке числа узлов дискретных норм.