Чебышевская аппроксимация в коэффициентной обратной задаче для алгебраического многочлена с предписанным младшим коэффициентом

В статье посредством специально сконструированных узлов сетки аппроксимации определяется класс многочленов $L_n(z,u)$ степени $n \geqslant 1$, наименее уклоняющихся от нуля на отрезке $ -1 \leqslant u \leqslant 1$, равных нулю при $u = -1$. Для многочленов $L_n(z, u)$: описана связь с многочленами Чебышева первого рода; изучен $n$-точечный альтернанс; найдены экстремумы; получены точные выражения корней и координат точек максимума и минимума; выведена формула старшего коэффициента; найден отрезок, где многочлен монотонно возрастает и стремится к $+\infty$ при $u \rightarrow+\infty$. Приведены конкретные примеры альтернанса второго, третьего и четвертого порядка. Мы рассматриваем алгебраические многочлены степени $n$ с действительными коэффициентами. При обработке входных данных использована равномерная непрерывная норма абсолютной погрешности. Исследовано влияние погрешности входных данных на качество аппроксимации в коэффициентной обратной задаче для алгебраического многочлена с предписанным младшим коэффициентом. В задаче минимизации влияния погрешности входных данных целевая функция описана в виде абсолютного числа обусловленности задачи, равного значению функции Лебега. На графическом материале показано увеличение численного значения абсолютного числа обусловленности задачи при отклонении координат узлов сетки аппроксимации от оптимальных.
Для минимизации влияния погрешности входных данных на точность вычисления коэффициентов исследуемого алгебраического многочлена специально сконструировано расположе-ние узлов сетки аппроксимации. При чебышевской аппроксимации получена связь узлов с точками альтернанса многочленов $L_n(z,u)$ линейной функцией.