О нулях периодических в среднем функций относительно свёртки Бесселя

В статье изучаются множества единственности для решений уравнения свертки Бесселя $f\overset{\alpha}\star g=0$, $\alpha\in (-1/2,+\infty)$. Показано, в частности, что если $g=\chi_r$ – индикатор отрезка $[-r,r]$, а чётная функция $f\in C(\mathbb{R})$ удовлетворяет уравнению $f\overset{\alpha}\star\chi_r=0$ и равна нулю на $(r-\varepsilon,r)$ или $(r,r+\varepsilon)$ при некотором $\varepsilon>0$, то $f=0$ на $(r-\varepsilon,r+\varepsilon)$. При этом интервал нулей $(r-\varepsilon,r+\varepsilon)$, вообще говоря, расширить нельзя. Установлено, что подобное явление имеет место и для решений уравнения $f\overset{\alpha}\star\delta_r=0$, где $\delta_r$ – чётная мера, сопоставляющая чётной непрерывной функции $\varphi$ на $\mathbb{R}$ число $\varphi(r)$. Найдены приложения этих результатов к теоремам единственности для сходящихся последовательностей линейных комбинаций функций Бесселя, теоремам о нулевых множествах для решений задачи Коши обобщенного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и теоремам о замыкании обобщенных сдвигов.