О размерности группы Ли автоморфизмов параконтактного метрического многообразия

Доказано, что размерность группы Ли автоморфизмов $(2n+1)$-мерного гладкого многообразия, наделённого параконтактной метрической структурой $(\eta,\xi,\varphi, g)$, не превосходит $(n+1)^2$, где $ \eta$ – дифференциальная $1$-форма, определяющая контактное $2n$-мерное распределение $H=\ker \eta$, $\xi$ – векторное поле Риба, $\varphi$ – структурный эндоморфизм, $g$ – псевдориманова метрика, ограничение которой на контактное распределение $H$ имеет сигнатуру $(n,n)$. Анализ условий инвариантности параконтактной метрической структуры относительно инфинитезимальных автоморфизмов, а также используя атлас Дарбу, в каждой карте которого контактная форма $\eta$ имеет канонический вид, позволяет утверждать, что группа изотропий, индуцированная стационарной подгруппой точки $p (0,...,0)$, вращает только векторы, лежащие в контактной плоскости $H_p$, и оставляет инвариантной псевдоевклидову метрику и симплектическую структуру, определяемую дифференциальной $2$-формой $\Omega=d\eta$. Поэтому максимальная размерность алгебры Ли группы изотропий равна $n^2$. Так как размерность подгруппы сдвигов не превосходит размерность многообразия, то размерность группы автоморфизмов не превосходит $n^2+2n+1$. В данной работе также доказано, что максимальная размерность алгебры Ли инфинитезимальных автоморфизмов равна $(n+1)^2$. Примером параконтактного метрического многообразия, допускающего алгебру Ли инфинитезимальных автоморфизмов максимальной размерности, является обобщённая группа Гейзенберга, наделённая канонической парасасакиевой структурой. Найдены базисные векторные поля этой алгебры.