Selective integration on higher adeles and the Euler characteristic of surfaces

Пространство двумерных геометрических аделей поверхностей сильно отличается от локально компактного пространства, и на нём не существует счётно-аддитивной инвариантной по сдвигу нетривиальной меры. В то же время некоторые подфакторы аделей являются прямыми пределами компактных подфакторов или обратными пределами дискретных подфакторов, согласованными специальным образом. Используя этот факт, в статье определяются трансляционно-инвариантная мера и интегрирование по некоторым подфакторам геометрических аделей поверхностей. Эта теория существенно отличается от теории интегрирования по аналитическим аделям поверхностей. После краткого обзора аспектов одномерной теории в статье дано полное определение двумерных геометрических аделей. Установлен ряд их новых топологических свойств. Новая трансляционно-инвариантная мера и интегрирование по некоторым подфакторам геометрических аделей используются для интегралов от подходящих функций в двумерном методе, описывающем размер групп адельных когомологий поверхностей без использования стандартных адельных комплексов. Доказана формула для эйлеровой характеристики поверхности и её дивизора, выражающая ее через интегралы по ключевым объектам геометрических аделей. С помощью эйлеровой характеристики вводится новый двумерный адельный индекс пересечения. Для геометрических поверхностей он является положительным кратным стандартного индекса пересечения. Приводятся новые доказательства ряда результатов, полученных в предыдущем исследовании геометрических аделей.